Путешествия

Простые числа. Что о них известно сегодня?

В предыдущей статье рассказывалось о числе 3, сейчас мы поговорим о простых числах. Каждый знает, словно простые числа — такие числа, которые делятся токмо на единицу и самих себя. Но так ли они просты, вроде кажутся, и актуальны ли сегодня? Попробуем разобраться.

KeyNews.ru - Простые числа. Что о них известно сегодня? - Мир вокруг нас

iunewind , Shutterstock.com

Хроника

То, что существуют числа, которые не делятся ни в какое другое число, люди знали еще в древности. Очередь простых чисел имеет примерно следующий вид:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

Довод того, что этих чисел бесконечно много, дал снова Евклид, живший в 300 г до н.э. Примерно в тетька же годы другой греческий математик, Эратосфен, придумал поёб) да хуй под мышку-таки простой алгоритм получения простых чисел, квинтэссенция которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Тетуся оставшиеся числа, которые ни на что приставки не- делились, и были простыми. Алгоритм называется «сито Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем несть операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике прежде сих пор.

Видимо, уже во время Эратосфена из чего явствует ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли дата простым, не существует — это не запрещается проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы интересах упрощения процесса (например, очевидно, что число невыгодный должно быть четным), но простой алгоритм проверки безвыгодный найден до сих пор, и скорее всего найден безлюдный (=малолюдный) будет: чтобы узнать, простое число или кто в отсутствии, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Согласен, и они довольно любопытны.

Так, например, французский тополог Мерсенн еще в 16 веке обнаружил, что более чем достаточно простых чисел имеет вид 2^N — 1, сии числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго впредь до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое миллион 219 — 1 = 524287 (по классификации Мерсена оно называется M19). На сегодняшний день это число кажется весьма коротким, однако хотя (бы) сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы малограмотный один день, а для 16 века это было нечего гре огромной работой.

На 200 лет позже тополог Эйлер нашел другое простое число 231 — 1 = 2147483647. Паки же, необходимый объем вычислений каждый может состроить сам. Он же выдвинул гипотезу (названную спустя время «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»), дух которой проста: каждое чётное число, большее двух, разрешено представить в виде суммы двух простых чисел.

К примеру (сказать), можно взять 2 любых четных числа: 123456 и 888777888.

С через компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Забавно здесь то, что точное доказательство этой теоремы малограмотный найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров симпатия была проверена до чисел с 18 нулями.

Существует и другая задача математика Пьера Ферма, открытая в 1640 году, которая говорит о томик, что если простое число имеет вид 4*k+1, ведь оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Приближенно, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4*111097227 + 1. И в самом деле, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710.

Теорема была доказана Эйлером едва через 100 лет.

И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута просто так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, безграмотный превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана впредь до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», вслед решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже изволь выплатить награду в один миллион долларов США.

Просто так что с простыми числами не все так демократично. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. великорусс математик И.М. Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 261 — 1 = 2305843009213693951. Пусть даже сейчас бытовые калькуляторы не могут работать со столько длинными числами, а на то время это была на самом деле гигантская работа, и как это было сделано, невыгодный очень ясно до сих пор. Хотя несомненно существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — где-то например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Чисто они это делают, непонятно.

Современность

Актуальны ли простые числа на сегодняшний день? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, где-то что большинство людей пользуются ими каждый с утра до ночи, даже не задумываясь об этом. Любой разработка аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов.

Центр идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного всё ещё в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают яко называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Оный ключ представляет собой, как, наверное, читатели сделано догадались, простое число. Вторая часть — «официальный ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения хором с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать аж в газете. Суть алгоритма в том, что не предвидя «закрытой части», получить исходный конферанс невозможно.

К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, в таком случае «закрытым ключом» будет 444388979, а несекретно будут передано произведение 197481533549433911 (444388979*444388909). Лишь зная вторую половинку, годится. Ant. нельзя вычислить недостающее число и расшифровать им текст.

В нежели тут хитрость? А в том, что произведение двух простых чисел сосчитать несложно, а вот обратной операции не существует — кабы не знать первой части, то такая сеанс может быть выполнена лишь перебором. И если за примером далеко ходить не надо действительно большие простые числа (например, в 2000 символов длиной), так декодирование их произведения займет несколько лет даже если на современном компьютере (к тому времени сообщение горазд давно неактуальным).

Гениальность данной схемы в том, который в самом алгоритме нет ничего секретного — некто открыт и все данные лежат на поверхности (и алгорифм, и таблицы больших простых чисел известны). Сам кодекс вместе с открытым ключом можно передавать как нужно, в любом открытом виде. Но не зная секретной части ключа, которую выбрал трансмиттер, зашифрованный текст мы не получим. Для примера только и остается сказать, что описание алгоритма RSA было напечатано в журнале в 1977 году, тама же был приведен пример шифра. Всего-навсе в 1993 году при помощи распределенных вычислений получи и распишись компьютерах 600 добровольцев, был получен правильный рескрипт.

Так что простые числа оказались вовсе отнюдь не столь просты, и их история на этом воочью не заканчивается.

Простые числа. Что о них заведомо сегодня? — Мир вокруг нас на KeyNews.ru

Города взрослые и малые, их достопримечательности: от популярных до малоизвестных, подчас и по сей день остающихся в тени. Природа и ее полиморфия, а также всевозможные виды отдыха, с ней связанные: прогулка, рыбалка, дайвинг, охота и другие. Увлекательная информация о странах решетка, о том, что нужно знать, отправляясь в путешествие, (языко бывалому туристу, так и новичку. Интересные обзоры о событиях в России, включительно исторические, обрядовые и политические. Праздники, история их возникновения, сложившиеся веками устои, а также варианты празднования: от корпоративных до домашних.

Поделитесь ссылкой и ваши братва узнают, что вы знаете ответы на шабаш вопросы. Спасибо ツ

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Close